本文目录一览：
- 1、俄罗斯数学天才：曾破解世界难题，却因拒绝百万奖金遭到嘲笑，为何？
- 2、求一道世界未解数学题
- 3、世界上最难的数学题无人能解
- 4、世界上至今未解的数学题
- 5、俄罗斯宅男数学家，网上破解世界性难题，拒领100万美金为何被嘲笑？
俄罗斯数学天才：曾破解世界难题，却因拒绝百万奖金遭到嘲笑，为何？
人生也许就需要这样，当身处坏时代时，我们保持沉默，多读书多思考，学会倾听和宽容，有自己热爱并且愿意为之付出的事业，不必担忧外物的得失，不必和多数人一样，醉心愤恨与狂欢，两手空空，被厌倦与悲凉拖垮了身体。只有这样当好的时代来临时，我们的能力才能更好地展示出来。
与生俱来的数学天赋
在这个浮躁的时代，淡泊名利，专注自己的事业，不被外界所干扰，是非常不容易做到的事，但是格里戈里·佩雷尔曼，一位俄罗斯数学家，却能守住自己的内心，对数学专注到了极致。
佩雷尔曼从小就对数学表现出了异于常人的天赋与热爱。刚上小学同学们在学习二位数笔算时，佩雷尔曼对于三位数的计算已经可以在脑子中自如地进行。
进入精英云集的中学之后佩雷尔曼更是大放异彩，参加国际数学奥林匹克竞赛，以有史以来的之一个满分夺得金奖，这一年，佩雷尔曼16岁。
大学毕业后考入数学研究所，开启了研究生阶段的学习，在著名数学家的推荐支持下参加了国际几何会议。
在会议上，美国纽约大学教授杰夫齐格十分欣赏佩雷尔曼的才华，并为其提供了一个在纽约大学做博后的机会，就这样佩雷尔曼在美国纽约大学攻读完成博士后学位。
攻读博士后期间佩雷尔曼解决了许多数学难题，其中"灵魂猜想"使其初露锋芒，吸引了美国各个高校聘请佩雷尔曼任教。
但之后佩雷尔曼做出了大家都意想不到的事，回到了老家研究所工作。佩雷尔曼并没有说他回国的原因。众说纷纭，有人说他自命清高，对于让他按程序递交简历的行为不满，一气之下回到了俄罗斯。
还有一种更为可信的说法是91年后犹太人都纷纷移民到以色列、美国等国家，佩雷尔曼的爸爸和妹妹选择移居以色列，而佩雷尔曼的母亲却坚决留在祖国。
此时的佩雷尔曼要做出选择，但是无论哪种选择都无疑是痛苦的，作为个性格鲜明亦或一个在世界观和个人情感上极为倔强执着的学者，佩雷尔曼选择留在了自己的祖国。
证明"庞加莱猜想"，拒绝百万美元
佩雷尔曼在研究所工作的几年，一直没有申请官方资助进行学术研究撰写学术论文，甩开体制化的束缚，不受名利诱惑的佩雷尔曼能更好的专注于自己对数学的研究。他全身心地投入到了一项令无数数学家折腰的课题上——破解庞加莱猜想。
2002年11月，佩雷尔曼宣布他解决了世界七大数学难题之一的"庞加莱猜想"，并且把论文公布到互联网上引起轩然 *** 。随后佩雷尔曼又发布了第二份报告，公布了更为细致的证明过程。
很多专家认为佩雷尔曼的答案在天文物理其他方面会有卓越的贡献。有人称证明庞加莱猜想是数学史发展的基础，也是人类思想发展的里程碑。
其中证明庞加莱猜想被列为2006年度十大科学进展头号科学进展。佩雷尔曼更是被英国评为十位数学天才之一，这些人的革命性发现有的甚至改变了我们的生活方式。
后来，佩雷尔曼被邀请到美国许多顶级大学做巡回演讲，2006年，在国际数学大会上，国际数学联合会决定将数学界的诺贝尔奖——菲尔茨奖授予佩雷尔曼。面对这巨大的荣誉，以及100万美金的诱惑，佩雷尔曼依旧选择了拒绝。
次年，他就辞掉了研究所的职位，不知所踪。有人说他回到了老家和母亲生活在一起，深居简出，成了名副其实的宅男，还有人认为佩雷尔曼拒绝100万美金的举动愚蠢到了极点。
证明庞加莱猜想让佩雷尔曼名声大噪，但他并不喜欢被万众瞩目，对于各大媒体想采访的意图佩雷尔曼也一一拒绝，佩雷尔曼认为他更大的采访点在于对庞加莱猜想的解决过程，但他已经公布了所有计算过程，所以他一直认为自己不值得被关注。
大象无形，大道至简
研究所的同事们对佩尔雷曼的评价是有点孤僻，潜心研究、淡泊名利、待人以诚、友善而害羞，嫉恶如仇，最讨厌在学术上弄虚作家的人，牛津大学的DuSautoy教授评价说，"佩雷尔曼有一点使自己脱离数学界。"
DuSautoy教授认为对于佩雷尔曼来说证明自己理论带来的快乐远远大于金钱的价值金钱的价值。佩雷尔曼家里附近商店的店员说他基本只买面包、通心粉、酸奶，这类很便宜又好做的简单食品，他似乎买不起水果和酒水。
所以有人认为佩雷尔曼因为支付不起路费才拒绝了“千禧年大奖难题”的100万美金奖励，但是克莱研究所否认了这种说法，因为组委会会为他支付一切的费用。
佩雷尔曼被人们所熟知的原因是他拒绝了百万美元的奖金，但其实佩雷尔曼曾拒绝过美国一些著名高校请他做教授的邀请，拒绝了由欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家奖这一头衔，拒绝当选国家科学院院士。
名声、财富这些东西对于佩雷尔曼来说都只是过眼云烟，他所珍视的所坚持的一直都是数学，他疏远了人群，但他从疏远数学，这一切都是出于对数学的热爱。在如今的学术界，能不重视名利，专心从事学术研究的人实在是有限！
对于像佩雷尔这样天赋异禀、特立独行、绝不随波逐流，内心丰富而淡薄世事的生命而言，我们注定不会窥探到智者的内心，他用毕生所追求是灵魂的自由，思想上的解放，取得了这么多成绩，依旧能保持自我，佩雷尔曼无论在学术还是思想上的成就都是我们所无法企及的。
佩雷尔曼的故事已经结束，但也让我们产生更多的困惑，人活在世究竟是要追求什么？是选择平凡，还是拼上自己不多的才华勇气来搏一搏？羡慕佩雷尔曼可能是因为他的数学天赋，也可能是他的淡泊。
求一道世界未解数学题
世界近代三大数学难题之一四色猜想
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明 *** 。
--------
世界近代三大数学难题之一 费马最后定理
被公认执世界报纸牛耳地位地位的 *** 於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有
关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『
我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的
男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马
小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极
大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子
」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的
数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内
容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定
理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之
两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有
整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等。
费马声称当n2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法
找到整数解。
当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙
法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百
多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最
后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和
三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫
斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，
有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然
如此仍然吸引不少的「数学痴」。
二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的
，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确
的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。
虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解
决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是
利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。
五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志
村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德
国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联
论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论
由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报
告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的
证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以
修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6
月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金
，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。
要证明费马最后定理是正确的
（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解）
只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。
----------------
世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。
一 数学基础问题。
1、 数是什么？
2、 四则运算是什么？
3、 加法和乘法为什么符合交换律，结合律，分配律？
4、 几何图形是什么？
二 几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?
更一般地：
当k为奇数时 求
(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
背景：
欧拉求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性
背景
此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。
3、素数问题。
证明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …
(s属于复数域)
所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。
背景：
此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。
美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。
希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？
4、 存在奇完全数吗？
背景：
所谓完全数，就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：
n10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？
背景：
这是卡塔兰猜想（1842）。
1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。
1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。
但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。
所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。
6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？
背景：
这角古猜想（1930）。
人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。
三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。
全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数 *** （被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。
背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在 *** 论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。
1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。
所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。
见上面 二 的 2
5、 问题 8 素数问题。
见上面 二 的 3
6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。
背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的更大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。
11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。
12、 问题 20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
13、 问题 23 变分法的进一步发展。
四 千禧七大难题
2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。
1、 黎曼猜想。
见 二 的 3
透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。
这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数
学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、
椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由
数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子
物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。
杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们
碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果
是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷
的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定
该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质
量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。
P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已
知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下
就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个
算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来
的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是
Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。
由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有
些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这
就是相当著名的PNP 问题。
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了
新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学
推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。
自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托
克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道
的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方
程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证
明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。
解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱
流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥
地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维
尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两
者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳
维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的
三维闭流形与三维球面同胚。
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之
后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。
庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将
之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的
≥
n(n4)维闭流形，如果与n
≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。
经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以
巧妙的 *** ，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的
≥
广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之
后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆
测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真
正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。
=
一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许
多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「 *** 」首
次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同
日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测
被证明了，这次是真的！」[14]。
数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现
斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时
就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、
几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马
最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与
椭圆曲线有关。
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些
多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限
呢？其解法是先分类，典型的数学 *** 是同余(congruence)这个观念
并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷
多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与
黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他
们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结
果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的
Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)
；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之
上同调类的有理组合。」
最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可
能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象
参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》
世界上最难的数学题无人能解
世界上最难的数学题无人能解
世界上最难的数学题无人能解，数学是一门伟大的学科，对于逻辑思维能力不好的人来说，数学就是拦路虎，很多人都头疼，但数学也有很有趣的猜想，下面分享世界上最难的数学题无人能解。
世界上最难的数学题无人能解1
1、NP完全问题
例：在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现宴会的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13717421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。
2、霍奇猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形 *** 的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完好的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
3、庞加莱猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
4、黎曼假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
黎曼假设之否认：
其实虽然因素数分布而起，但是却是一个歧途，因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们，素数与伪素数由它们的变量集决定的。具体参见伪素数及素数词条。
5、杨-米尔斯存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的.数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
6、纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
7、BSD猜想
数学家总是被诸如那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的 *** 来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。
世界上最难的数学题无人能解2
费马最后定理
对于任意不小于3的正整数 ,x^n + y^n = z ^n 无正整数解
哥德巴赫猜想
对于任一大于2的偶数都可写成两个质数之和，即1+1问题
NP完全问题
是否存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想
霍奇猜想
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合
庞加莱猜想
庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题
黎曼假设
德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上
杨－米尔斯存在性和质量缺口
纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性
BSD猜想
像楼下说的1+1=2 并不是什么问题的简称 而就是根据皮亚诺定理得到的一个加法的基本应用，是可以简单通过皮亚诺定理和自然数公理解决的
世界上最难的数学题无人能解3
在普通人群中，人群中只有1%的人智商在140分以上;有11%的智商属于120分～139分;18%属于110分～119分;46%属于90分～109分;15%属于80分～89分;6%属于70分～79分;另外，有3%的人智商低于70分，属于智能不足者。
题目是这样的
阿尔贝茨和贝尔纳德想知道谢丽尔的生日，于是谢丽尔给了他们俩十个可能的日期：5月15日、5月16日、5月19日、6月17日、6月18日、7月14日、7月16日、8月14日、8月15日、8月17日。谢丽尔只告诉了阿尔贝茨她生日的月份，告诉贝尔纳德她生日的日子。阿尔贝茨说：我不知道谢丽尔的生日，但我知道贝尔纳德也不会知道。贝尔纳德回答：一开始我不知道谢丽尔的生日，但是现在我知道了。阿尔贝茨也回答：那我也知道了。那么，谢丽尔的生日是哪月哪日?
答案是这样的
在出现的十个日子中，只有18日和19日出现过一次，如果谢丽尔生日是18或19日，那知道日子的贝尔纳德就能猜到月份，一定知道谢丽尔的生日是何月何日。为何阿尔贝茨肯定贝尔纳德不知道谢丽尔的生日呢?如上述，因为5月和6月均有只出现过一次的日子18日和19日，知道月份的阿尔贝茨就能判断，到底贝尔纳德有没有肯定的把握，所以她的生日一定是7月或8月。贝尔纳德的话也提供信息，因为在7月和8月剩下的5个日子中，只有14日出现过两次，如果谢丽尔告诉贝尔纳德她的生日是14日，那贝尔纳德就没有可能凭阿尔贝茨的一句话，猜到她的生日。所以有可能的日子，只剩下7月16日、8月15日和8月17日。在贝尔纳德说话后，阿尔贝茨也知道了谢丽尔的生日，反映谢丽尔的生日月份不可能在8月，因为8月有两个可能的日子，7月却只有一个可能性。所以答案是7月16日。
真正世界上最难的数学题
世界上最难的数学题的其实是“1+1”,不要笑,也不要认为我是在糊弄你,其实这是真的,这个题从古到今还没人能够算出来。
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)：公元1742年6月7日德国的业余数学家哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想:
(a) 任何一个n 1717 6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和、
(b) 任何一个n 1717 9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和、
这就是著名的哥德巴赫猜想、从费马提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功、当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如:
6 = 3 + 3,8 = 3 + 5,10 = 5 + 5 = 3 + 7,12 = 5 + 7,14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11,18 = 5 + 13,、、、、等等、
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立、但验格的数学证明尚待数学家的努力、目前更佳的结果是中国数学家 陈景润於1966年证明的,称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) 1717 “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积、” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式、
在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称 “s + t ”问题)之进展情况如下:
1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”、
1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了 “7 + 7 ”、
1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”、
1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后证明了 “5 + 7 ”,“4 + 9 ”,“3 + 15 ”和“2 + 366 ”、
1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “5 + 5 ”、
1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”、
1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了 “1 + c ”,其中c是一很大的自然 数、
1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”、
1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”、
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”,
中国的王元证明了 “1 + 4 ”、
1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了 “1 + 3 ”、
1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”、
所以现在“1+1”依旧无解，可以说是真正的世界上最难的数学题了。如果能解答出这个数学题，那可真的可以名留青史了啊。
世界上至今未解的数学题
世界近代三大数学难题之一四色猜想
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯研究一直没有进展。
1852年10月，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明 *** 。
--------
世界近代三大数学难题之一 费马最后定理
费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多）。
费马声称当n2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法
找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。
虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。
要证明费马最后定理是正确的（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。
----------------
世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。
几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：
当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
欧拉已求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性
此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。
3、素数问题。
证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域)
所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？
4、 存在奇完全数吗？
所谓完全数，就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：
n10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？
这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。
6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？
这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。
三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数 *** （被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。
1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在 *** 论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2
5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3
6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。
德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。
8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的更大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。
11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。
12、 问题 20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。
13、 问题 23 变分法的进一步发展。
四 千禧七大难题
2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。
1、 黎曼猜想。 见 二 的 3
透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的 *** ，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「 *** 」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学 *** 是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》
俄罗斯宅男数学家，网上破解世界性难题，拒领100万美金为何被嘲笑？
俄罗斯宅男数学家，6岁在脑子里进行三位数的加减乘除，毕业后深居家中，在网上破解世界性百年数学难题——庞加莱猜想！拒绝领取百万美金，被调侃甚至嘲笑 ，次年人间蒸发。
俄罗斯的数学水平绝对是处在世界顶级的，他们国内也出现了不少的数学大师。
其中有一位奇人，他在数学研究上的成就非常高，自己本应该获得更大的成就，靠着他的成绩，还能名利双收。
可对他来说，这些东西都只是过眼云烟，他一直都保持着初心，专心从事研究，这一切都是出于对数学的热爱。
01
在如今的学术界，能不重视名利，专心从事学术研究的人实在是有限，这位怪人，就是俄罗斯著名的数学家格里戈里·佩雷尔曼。
和很多人不一样，佩雷尔曼从小就展现了自己对于数学的热爱，他在4岁的时候就已经开始迷恋上数字。
同龄的孩子们都在玩游戏，唯独他，要么看书或者是和自己的父亲玩填字游戏。
佩雷尔曼的家庭条件不是非常好，不过他父母都是从事与数学相关的工作，因此他们家也有着一些传承。
佩雷尔曼在上学之后，展现了自己的数学才华，在16岁的时候就拿下国际奥林匹克数学竞赛更高得分。
他的活跃表现，已经引起了美国一些高校的重视，他们想要让佩雷尔曼来到美国发展，可他对于出国没有那么大兴趣。
当时俄罗斯还是属于苏联的一部分，苏联的数学教育做得非常不错，他们在中后期培养出了很多的数学大师。
佩雷尔曼在国内不断学习数学，并且选择了难度非常大的微分几何作为自己的研究主题，这无疑是一条最为艰难的路。
在当时，他就已经展现出了自己纯粹的一面，平时的生活非常简单，除了正常生活外，就是全心去研究数学。
佩雷尔曼并不注重自己的形象，一切都是随性而来。
后来他在美国解决了不少的数学难题，很多高校都想要让他到自己这边任教，全部都被他拒绝。
在他的心里，自己更加喜欢无拘无束的生活，他只要做自己就行了，至于研究，他只是想获得内心的成就感。
02
在2002年的时候，佩雷尔曼成功解决了著名的庞加莱猜想，这件事震惊了学术界，无数的荣誉纷纷朝他跑来，却一一被他拒之门外。
各大名校仍然不死心，都希望能把佩雷尔曼带到自己的学校来，可他还是拒绝了这些学校的请求。
“千禧年大奖难题”是美国2000年公布的7个数学难题，每一题都有100万美金奖励。
之前他曾拒绝过杰出数学家奖项，在解决了数学历史上著名的庞加莱猜想难题后，他也得到了菲尔茨奖这项荣誉，该奖在数学界的地位非常高，没想到他再度拒绝。
同时也拒绝领取百万美金，有媒体想要采访他，却常常被他拒绝，对于佩雷尔曼来说，他不希望有人来打扰自己的生活。
也有人调侃甚至嘲笑，佩雷尔曼是因“路费问题”才没有去领奖，因为他多年来都过着贫穷的日子，有个超市的员工，称他几年来，每次去超市都只卖一个黑面包和一包通心粉，外加酸奶。
水果压根就没买过，而且只调便宜的东西，面对这样的情况是否真实？难道佩雷尔曼真的因为路费问题不领奖？
数学家组委会声称“不可能，因为我们答应帮他支付一切费用！”
在破解这个庞加莱猜想之后，他便逐渐淡出人们的视线。
这也想的通，其实佩雷尔曼很少会出现在公众视野上，他也总是一副不修边幅的样子，即便是出席一些重要的场合，从外表也看不出他是这么厉害的数学家。
就像牛津大学教授说“他对金钱真的没兴趣！”
面对媒体，他也留下这样一句话“奖金对我确实没有吸引力，对我而言，更大的奖励就是证明自己的理论”。这句话也确实让世人惭愧，不在乎名利和金钱，只凭借兴趣爱好，确实少有。
03
由于他的这种生活方式，对他的数学研究也造成了一些影响，毕竟他与外界隔绝太久，他所作出的很多研究，外界没有办法立即发现。
佩雷尔曼这样的怪人，在数学史上也是非常罕见的，他是真心喜欢数学的研究，整日都在思考着数学问题，他的思维也不是一般人能理解的。
不过佩雷尔曼并非是难相处的人，虽然自己的性格过于孤僻，但他待人友善，非常有爱心，和他相处过的人都很喜欢他的这种性格。
能潜心做研究的人是越来越少，佩雷尔曼无疑是学术界里面的一个奇葩，比如他在证明庞加莱猜想的过程中，就耗费了十多年的时间。
在这段时间里面，他把自己与外界隔绝，脑子里几乎都在想这个问题。
每当佩雷尔曼消失在人们的视线中，外界也非常好奇他到底在做些什么，他的生活依旧很简单，自己仍然保持那种我行我素的风格，或许他正在考虑某个著名的数学难题，也有可能他在思考自己的人生。
这种行事作风，让佩雷尔曼成为当今最为神秘的数学大师，单单是他发表的这些论文，以及自己的研究成果，就已经能看出他的数学水准有多高。
更可怕的是，还有很多人们不知道的研究，如果能深入了解佩雷尔曼的话，可能会发现他的更多成绩。
要是非用现代的词语来形容他，宅男应该是最合适的，他宅在家里的时候，脑子里不断在思考着很多著名的数学难题。
佩雷尔曼是一个隐士，取得了这么多成绩，依旧能保持自我，这样的人值得尊敬。
凭心而论，绝大多数人是没有佩雷尔曼对数学的那份热爱，他在那么小的时候就已经展现出对数学学科的兴趣，这无疑和俄罗斯的教育 *** 有关。
更重要的是，很多人没有他的这份坚持，从小他就决定要进行数学研究，希望能在这个领域内有更好的成绩。
他这些年一直都做着自己，即便被名利困扰，他也仍然是坚持着初心。
在数学研究上，他不仅面临着外界很大的压力，还要面临着孤独这些问题，能克服这些困难，专心去研究数学，实在是非常困难。
人们也做不到像他这样一直保持热爱某件事，并且一直去追求着某件事。
未来，佩雷尔曼仍然不会做出什么改变，他始终都会做着自己，但他必然能创造出更多的成绩。
在隐居的生活中，肯定会有其他的研究成果问世，对于数学的发展会起到更大的帮助，外界也会一直关注着这位数学奇人。
他疏远了外界人，但却从未疏远过数学！